Théorèmes de Rolle, T.A.F et I.A.F
Tous les documents du chapitre Théorèmes de Rolle, des accroissements finis (T.A.F) et inégalité des accroissements finis (I.A.F) sont consultables directement ci-dessous. Cliquez sur un onglet pour afficher le document, ou téléchargez-le.
🎬 Vidéo — Le théorème de Rolle en animation
Section intitulée « 🎬 Vidéo — Le théorème de Rolle en animation »Illustration animée : les trois conditions du théorème, la tangente qui glisse le long de la courbe et le point c où la dérivée s’annule.
🎬 Vidéo — Le théorème des accroissements finis (T.A.F) en animation
Section intitulée « 🎬 Vidéo — Le théorème des accroissements finis (T.A.F) en animation »Illustration animée : les conditions du T.A.F, la corde [AB] et la tangente qui glisse jusqu’au point c où f′(c) égale la pente moyenne (f(b) − f(a)) / (b − a).
🎬 Vidéo — Idée démonstration de T.A.F
Section intitulée « 🎬 Vidéo — Idée démonstration de T.A.F »Idée de la démonstration du T.A.F : on se ramène au théorème de Rolle en soustrayant à f la corde [AB], puis on applique Rolle à la fonction auxiliaire ainsi construite.
📄 Documents du chapitre
Section intitulée « 📄 Documents du chapitre »❓ QCM — Rolle, T.A.F et I.A.F
Section intitulée « ❓ QCM — Rolle, T.A.F et I.A.F »Même contenu que le QCM en PDF. Une seule réponse correcte par question ; validez pour voir votre score.
1. Le théorème de Rolle exige, sur [a, b] :
Rolle : continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et f(a)=f(b) ⟹ ∃c, f′(c)=0.
2. La conclusion du T.A.F est : ∃ c ∈ ]a, b[ tel que
T.A.F : ∃c ∈ ]a,b[ tel que f(b)−f(a) = (b−a)·f′(c).
3. (Fermat) Si f a un extremum local en x₀ intérieur et est dérivable en x₀, alors :
Théorème de Fermat : en un extremum intérieur où f est dérivable, f′(x₀)=0.
4. L'affirmation « f′(x₀) = 0 ⟹ f a un extremum en x₀ » est :
Faux : f′ s'annule aussi aux points d'inflexion (ex. x³ en 0). Condition nécessaire, pas suffisante.
5. (I.A.F) Si |f′(x)| ≤ M sur I, alors pour tous a, b ∈ I :
Inégalité des accroissements finis : |f′| ≤ M ⟹ |f(b)−f(a)| ≤ M|b−a|.
6. Pour tous réels a, b, |sin a − sin b| est majoré par :
Comme |sin′| = |cos| ≤ 1, l'I.A.F donne |sin a − sin b| ≤ |a−b|.
7. Si f′ = 0 sur un intervalle I, alors f est :
f′ = 0 sur un intervalle ⟹ f y est constante (conséquence du T.A.F).
8. Le théorème de Rolle est le cas particulier du T.A.F lorsque :
Rolle = T.A.F dans le cas particulier f(a)=f(b) (la pente moyenne est nulle).
9. Pour f(x) = x³ sur ℝ : f′(0) = 0 et f :
x³ : f′(0)=0 mais f est strictement croissante — pas d'extremum (point d'inflexion).
10. Pour x > 0, arctan(x) + arctan(1/x) vaut :
Résultat classique : pour x > 0, arctan(x)+arctan(1/x) = π/2.
11. Si f(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3), l'équation f′(x) = 0 a :
f est un polynôme de degré 3 à 3 racines distinctes : par Rolle, f′ (degré 2) a 2 racines réelles distinctes.
12. lim(x→0) (sin x − x) / x³ vaut :
Développement : sin x − x ≈ −x³/6, donc la limite vaut −1/6.