Problème de la semaine — Terminale SM

Un exercice instructif chaque semaine, avec un indice — et la solution détaillée dévoilée la semaine suivante. Thèmes : limites & continuité, dérivabilité (Rolle, TAF), primitives, fonctions logarithme & exponentielle.

★ Défi de la semaine · Terminale SM

Limites et continuitéSemaine du 21 septembre 2026

Racines des sommes exponentielles tronquées

Soit . On considère les polynômes définis par

Montrer que n'admet pas de racine réelle si est pair, et que admet une unique racine réelle si est impair.

💬 Soumettre ma solution

💡 Voir un indice

Remarquez que et pour . Raisonnez par récurrence sur en traitant ensemble les deux cas : si est impair, est strictement croissante ; si est pair, étudiez le minimum de .

🔒 La solution détaillée paraîtra dans les archives la semaine prochaine. À vos crayons !

📚 Archives & solutions

Limites et continuitéÉquation fonctionnelle de CauchySemaine du 14 septembre 2026

Soit une fonction **continue** telle que pour tous réels . Montrer que pour tout .

💡 Indice

Établissez le résultat successivement pour entier, puis rationnel, puis concluez par continuité.

Solution

Notons .

donc ; et , donc est impaire.

Pour , une récurrence donne ; en particulier .

Pour () : , donc . Ainsi pour tout .

Soit et une suite de rationnels tendant vers . Par continuité, .

Donc pour tout réel .

Limites et continuitéCordes horizontales de longueur 1/nSemaine du 7 septembre 2026

Soit et une fonction continue telle que . Montrer qu'il existe tel que

💡 Indice

Posez et étudiez la somme .

Solution

Fixons et posons , continue sur . La somme aux points se télescope :

Une somme nulle ne peut avoir tous ses termes strictement positifs (ni tous strictement négatifs). Donc soit l'un des est nul, soit il en existe un et un ; dans ce cas, étant continue, le T.V.I. fournit un zéro de entre les deux abscisses.

Dans tous les cas, il existe tel que .

L'hypothèse est indispensable : par exemple n'admet aucune corde horizontale de longueur , car donnerait . (Le résultat vaut pour les longueurs , mais pas pour une longueur quelconque.)