Problème de la semaine — Première Bac SM

Un exercice instructif chaque semaine, avec un indice — et la solution détaillée dévoilée la semaine suivante. Thèmes : logique, ensembles & applications, généralités sur les fonctions, suites & récurrence.

★ Défi de la semaine · Première Bac SM

Logique et raisonnementSemaine du 21 septembre 2026

Irrationalité de √(n/(n+1))

Soit . Montrer que

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Écrivez et raisonnez par l'absurde. Montrez d'abord que si et , alors ; puis encadrez entre deux carrés consécutifs.

🔒 La solution détaillée paraîtra dans les archives la semaine prochaine. À vos crayons !

📚 Archives & solutions

Suites & récurrenceIdentité de CassiniSemaine du 14 septembre 2026

Soit la suite de Fibonacci : , et . Montrer que pour tout ,

💡 Indice

Récurrence sur ; utilisez et dans l'hérédité.

Solution

Notons .

Initialisation : . Donc est vraie.

Hérédité : supposons . En utilisant :

Puis , d'où

Donc est vraie.

Par récurrence, est vraie pour tout .

Logique et raisonnementIrrationalité de √2 + √3Semaine du 7 septembre 2026

Montrer que le nombre est irrationnel (on admet que est irrationnel).

💡 Indice

Raisonnez par l'absurde en posant , puis élevez au carré.

Solution

Raisonnons par l'absurde : supposons .

En élevant au carré : , donc .

Comme , le membre de droite est rationnel, donc : contradiction, car est irrationnel.

Conclusion : est irrationnel.