QCM — Limites et continuité

NiveauMoyen★★

Définitions et théorèmes fondamentaux : continuité en un point, image d'un intervalle, bornes atteintes, T.V.I. et bijection.

$f$ est continue en $a$ signifie :

Corrigé · DDéfinition même de la continuité : $\lim_{x\to a}f=f(a)$. La dérivabilité (B) est plus forte et non nécessaire ; être borné (C) ne suffit pas.

En chaque entier $n\in\Z$, la fonction partie entière $E$ est :

Corrigé · B$\lim_{x\to n^+}E=n=E(n)$ (continue à droite), mais $\lim_{x\to n^-}E=n-1\ne n$ (discontinue à gauche).

L'image d'un intervalle par une fonction continue est :

Corrigé · AThéorème : l'image d'un intervalle est un intervalle. Ce n'est un segment que si l'intervalle de départ est un segment (d'où B faux en général).

Toute fonction continue sur un segment $[a,b]$ :

Corrigé · CThéorème des bornes atteintes ; $f$ n'a aucune raison d'être monotone, dérivable ou constante.

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et $f(a)\,f(b)<0$, alors :

Corrigé · DCorollaire du T.V.I. : un changement de signe force un zéro dans $]a,b[$.

Pour $x\ne1$, $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ ; le prolongement par continuité en $1$ donne $f(1)=$ :

Corrigé · B$\dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1\to2$ : on pose $f(1)=2$.

Si $f$ est continue et strictement croissante sur $I$, alors :

Corrigé · AThéorème de la bijection ; attention $f^{-1}\ne 1/f$ (D est le piège classique).

NiveauBon★★★

Domaines de continuité, prolongements, point fixe et lecture fine du T.V.I. — il faut mobiliser plusieurs résultats à la fois.

$f(x)=\sqrt{\dfrac{x-2}{x+1}}$ est continue sur :

Corrigé · CCondition $\dfrac{x-2}{x+1}\ge0$ avec $x\ne-1$ : tableau de signes $\Rightarrow\,]-\infty,-1[\,\cup\,[2,+\infty[$. En A on oublie la branche négative.

Soit $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ pour $x\ne2$ et $f(2)=\lambda$. $f$ est continue en $2$ si et seulement si $\lambda=$ :

Corrigé · D$\dfrac{x^2-4}{x-2}=x+2\to4$. Le distracteur C $(-4)$ est une erreur de signe fréquente.

Q10

Le nombre de solutions réelles de l'équation $\cos x=x$ est :

Corrigé · B$g(x)=\cos x-x$ est continue, $g'(x)=-\sin x-1\le0$ (strictement décroissante), $g(0)=1>0$, $g(1)<0$ : une solution.

Q11

Toute fonction continue $f:[0,1]\to[0,1]$ :

Corrigé · APoint fixe : $g(x)=f(x)-x$ vérifie $g(0)=f(0)\ge0$ et $g(1)=f(1)-1\le0$ ; le T.V.I. donne $c$ avec $f(c)=c$.

Q12

La fonction $x\mapsto x-E(x)$ (partie fractionnaire) est :

Corrigé · C$x-E(x)$ est $1$-périodique, vaut $0$ à droite de chaque entier et « saute » : discontinue en chaque entier.

Q13

$f$ est continue sur $[0,2]$, $f(0)=3$, $f(2)=1$. L'équation $f(x)=2$ :

Corrigé · D$2$ est compris entre $f(2)=1$ et $f(0)=3$ : le T.V.I. donne au moins une solution (le nombre exact dépend des variations, inconnues ici).

Q14

Si $f$ est continue strictement monotone, sa réciproque $f^{-1}$ :

Corrigé · B$f^{-1}$ est continue, de même monotonie, et les deux courbes sont symétriques par rapport à $y=x$.

NiveauDifficile — type concours★★★★

Résultats fins et raisonnements subtils : image continue à valeurs rationnelles, continuité + injectivité, T.V.I. « à décalage », degré impair, périodicité.

Q15

Soit $f:\R\to\R$ continue telle que $f(x)\in\Q$ pour tout $x\in\R$. Alors $f$ est :

Corrigé · D$f(\R)$ est un intervalle (image d'un intervalle par une fonction continue) inclus dans $\Q$. Or le seul intervalle inclus dans $\Q$ est un singleton : $f$ est constante.

Q16

Une fonction $f:[0,1]\to\R$ continue et injective est nécessairement :

Corrigé · ASur un intervalle, continue $+$ injective $\Rightarrow$ strictement monotone (résultat fondamental). La surjectivité (B) n'a aucune raison d'être vraie.

Q17

Soit $f$ continue sur $[0,1]$ avec $f(0)=f(1)$. Alors il existe $x\in\left[0,\tfrac12\right]$ tel que :

Corrigé · CPoser $g(x)=f(x)-f\!\left(x+\tfrac12\right)$ sur $\left[0,\tfrac12\right]$ ; alors $g(0)=f(0)-f(\tfrac12)$ et $g(\tfrac12)=f(\tfrac12)-f(1)=-g(0)$ car $f(0)=f(1)$. Donc $g(0)\,g(\tfrac12)\le0$ : le T.V.I. donne $x$ avec $f(x)=f(x+\tfrac12)$.

Q18

L'image de l'intervalle ouvert $]0,1[$ par une fonction continue :

Corrigé · BContre-exemples : $x\mapsto x(1-x)$ envoie $]0,1[$ sur $\left]0,\tfrac14\right]$ (borne atteinte), et $x\mapsto\tfrac1x$ envoie $]0,1[$ sur $]1,+\infty[$ (non borné). Donc A et C sont faux.

Q19

Tout polynôme de degré impair à coefficients réels admet :

Corrigé · DSi $\deg P$ est impair, $\lim_{\pm\infty}P=\pm\infty$ (signes opposés) ; le T.V.I. fournit au moins une racine réelle (leur nombre peut être $1$ ou $3,5,\dots$).

Q20

Une fonction continue et périodique sur $\R$ est nécessairement :

Corrigé · CSur une période $[0,T]$ (segment), $f$ est bornée et atteint ses bornes ; par périodicité, ces bornes valent sur $\R$ tout entier : $f$ est bornée.

Q21

Soit $f$ continue sur $[0,1]$, non constante. Alors $f([0,1])$ est :

Corrigé · AImage d'un segment $=$ segment $[m,M]$ ; $f$ non constante $\Rightarrow m<M$. Rien n'impose que ce segment soit $[0,1]$ (D faux).