1 Limites d'une fonction
Limite en un point, à l'infini, à gauche et à droite
Définition
Dire que $f$ admet la limite $\ell$ en $a$, noté $\ds\lim_{x\to a}f(x)=\ell$, signifie que $f(x)$ devient aussi proche que l'on veut de $\ell$ dès que $x$ est assez proche de $a$. On définit de même les limites en $+\infty$ et $-\infty$, ainsi que les limites à droite $\ds\lim_{x\to a^+}$ et à gauche $\ds\lim_{x\to a^-}$ (en n'utilisant que les $x\gt a$, resp. $x\lt a$).
Propriété · limites latérales
$$\lim_{x\to a}f(x)=\ell \iff \lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=\ell.$$ Si de plus $a\in\Df$, la continuité en $a$ équivaut à ce que cette valeur commune soit $f(a)$.
Limites de référence
Pour $n\in\N^*$ : $\ds\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty$, $\ds\lim_{x\to+\infty}\frac1{x^n}=0$, $\ds\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}=+\infty$, $\ds\lim_{x\to 0^+}\frac1{x^n}=+\infty$. Les fonctions $\sin$ et $\cos$ n'ont pas de limite en $\pm\infty$.
Opérations et formes indéterminées
Somme, produit et quotient des limites se calculent par les règles usuelles, sauf dans les quatre formes indéterminées (F.I.) suivantes :
Les 4 formes indéterminées
$\dfrac00$$\dfrac{\infty}{\infty}$$\infty-\infty$$0\times\infty$
Devant une F.I., on ne conclut jamais directement : « $\infty-\infty=0$ » est faux. Il faut transformer l'expression.
Méthodes de levée
- À l'infini : mettre le terme de plus haut degré en facteur.
Ex. $\ds\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-x+2}{x^2+5}=\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2}{x^2}=3.$
- Forme $\tfrac00$ en un point : factoriser par $(x-a)$ puis simplifier.
Ex. $\ds\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x^2-3x+2}=\lim_{x\to2}\frac{x+2}{x-1}=4.$
- Radicaux : multiplier par la quantité conjuguée.
Ex. $\ds\lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{x^2+x}-x\bigr)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac12.$
Limites et ordre
Ces théorèmes font le lien entre les inégalités portant sur les fonctions et les inégalités portant sur leurs limites. Chacun traite une situation précise ; on choisit celui qui correspond à l'encadrement dont on dispose. Les inégalités sont supposées vraies au voisinage du point considéré (en $a$, en $+\infty$ ou en $-\infty$).
Théorème 1 · Passage à la limite (conservation de l'ordre)
Situation : deux fonctions comparables qui admettent chacune une limite finie.
Si $f(x)\le g(x)$ au voisinage de $a$, et si $\ds\lim_{x\to a}f=\ell$ et $\ds\lim_{x\to a}g=\ell'$, alors $$\ell\le\ell'.$$
Application. Si au voisinage de $a$ on a $f(x)\le 3$ et $\ds\lim_{x\to a}f(x)=\ell$, alors $\ell\le 3$. Une inégalité stricte $f\lt g$ ne donne toujours qu'une inégalité large à la limite : par exemple $0\lt\frac1x$ pour $x\gt0$, pourtant $\ds\lim_{x\to+\infty}\frac1x=0$.
Théorème 2 · Théorème des gendarmes (encadrement, limite finie)
Situation : on encadre $f$ entre deux fonctions ayant la même limite finie.
Si $g(x)\le f(x)\le h(x)$ au voisinage de $a$ et $\ds\lim_{x\to a}g=\lim_{x\to a}h=\ell$ (avec $\ell$ fini), alors $f$ admet une limite en $a$ et $$\ds\lim_{x\to a}f=\ell.$$
Application. Pour tout $x\neq0$, $-|x|\le x\sin\frac1x\le|x|$, et $\pm|x|\to0$, d'où $\ds\lim_{x\to0}x\sin\frac1x=0$. De même $-\frac1x\le\frac{\sin x}{x}\le\frac1x$ pour $x\gt0$ donne $\ds\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}=0$.
Théorème 3 · Comparaison — minoration (limite $+\infty$)
Situation : $f$ est minorée par une fonction qui tend vers $+\infty$.
Si $f(x)\ge g(x)$ au voisinage de $a$ et $\ds\lim_{x\to a}g=+\infty$, alors $$\ds\lim_{x\to a}f=+\infty.$$
Application. Comme $x+\sin x\ge x-1$ et $x-1\xrightarrow[x\to+\infty]{}+\infty$, on obtient $\ds\lim_{x\to+\infty}(x+\sin x)=+\infty$.
Théorème 4 · Comparaison — majoration (limite $-\infty$)
Situation : $f$ est majorée par une fonction qui tend vers $-\infty$.
Si $f(x)\le g(x)$ au voisinage de $a$ et $\ds\lim_{x\to a}g=-\infty$, alors $$\ds\lim_{x\to a}f=-\infty.$$
Application. Comme $x+\cos x\le x+1$ et $x+1\xrightarrow[x\to-\infty]{}-\infty$, on obtient $\ds\lim_{x\to-\infty}(x+\cos x)=-\infty$.
Théorème 5 · Domination de l'écart
Situation : on majore l'écart entre $f$ et un réel $\ell$ par une fonction de limite nulle.
Si $\,|f(x)-\ell|\le g(x)\,$ au voisinage de $a$ et $\ds\lim_{x\to a}g=0$, alors $$\ds\lim_{x\to a}f=\ell.$$
Application. Pour $x\gt0$, $\left|\dfrac{\cos x}{x}\right|\le\dfrac1x$ et $\dfrac1x\to0$, donc $\ds\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\cos x}{x}=0$.
Théorème 6 · Bornée × limite nulle (corollaire)
Situation : un produit d'une fonction bornée par une fonction de limite nulle.
Si $f$ est bornée au voisinage de $a$ et $\ds\lim_{x\to a}g=0$, alors $$\ds\lim_{x\to a}\bigl(f(x)\,g(x)\bigr)=0.$$
Application. $\sin\frac1x$ est bornée ($|\sin\frac1x|\le1$) et $x^2\to0$, donc $\ds\lim_{x\to0}x^2\sin\frac1x=0$.
Pièges à éviter
- Le théorème des gendarmes exige que les deux bornes aient la même limite finie : si $\lim g\neq\lim h$, on ne conclut rien.
- Une inégalité stricte devient large à la limite : de $f\lt g$ on tire seulement $\ell\le\ell'$, jamais $\ell\lt\ell'$.
- Pour une limite infinie, une seule borne suffit (minorer pour $+\infty$, majorer pour $-\infty$) — inutile d'encadrer des deux côtés.
Composée et limites usuelles
Limite d'une composée
Si $\ds\lim_{x\to a}f(x)=b$ et $\ds\lim_{u\to b}g(u)=\ell$, alors $\ds\lim_{x\to a}(g\circ f)(x)=\ell.$
À mémoriser · limites usuelles
$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12,\qquad \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1.$$
Asymptotes
Définition
- $\ds\lim_{x\to a}f=\pm\infty$ : asymptote verticale $x=a$ ;
- $\ds\lim_{x\to\pm\infty}f=\ell$ : asymptote horizontale $y=\ell$ ;
- $\ds\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x)-(ax+b)\bigr)=0$ : asymptote oblique $y=ax+b$.
2 Continuité d'une fonction
Définition · continuité en un point
$f$ (définie sur un intervalle $I$, $a\in I$) est continue en $a$ lorsque $$\lim_{x\to a}f(x)=f(a).$$ Sinon $f$ est discontinue en $a$. Elle est continue à droite (resp. à gauche) si $\ds\lim_{x\to a^+}f=f(a)$ (resp. $\ds\lim_{x\to a^-}f=f(a)$), et continue en $a$ si et seulement si elle l'est des deux côtés.
Prolongement par continuité
Si $f$ n'est pas définie en $a$ mais admet une limite finie $\ell$ en $a$, on la prolonge en posant $\tilde f(a)=\ell$.
Ex. $\dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1\xrightarrow[x\to1]{}2$ : on pose $\tilde f(1)=2$.
Exemple · fonction partie entière $E$
En chaque entier $n\in\Z$, $E$ est continue à droite ($\lim_{x\to n^+}E=n=E(n)$) mais pas à gauche ($\lim_{x\to n^-}E=n-1$) : elle est donc discontinue en $n$.
Opérations et fonctions usuelles
Somme, produit, quotient (dénominateur non nul), $\sqrt{\ }$ (d'une fonction positive) et composée de fonctions continues sont continues. Sont continues sur leur domaine : les polynômes (sur $\R$), les fonctions rationnelles, $\sin$, $\cos$ (sur $\R$), $\tan$, et $x\mapsto\sqrt{x}$ (sur $\R^+$).
Continuité sur un intervalle : $f$ est continue sur $I$ si elle l'est en tout point de $I$ (continuité latérale aux bornes appartenant à $I$).
3 Théorème des valeurs intermédiaires
Image d'un intervalle · d'un segment
L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. L'image d'un segment $[a,b]$ est un segment $[m,M]$ : une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.
Théorème (T.V.I.)
Si $f$ est continue sur $[a,b]$, alors pour tout réel $\gamma$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un $c\in[a,b]$ tel que $f(c)=\gamma$.
Corollaire · recherche d'un zéro
$f$ continue sur $[a,b]$ avec $f(a)\cdot f(b)\lt 0$ $\Rightarrow$ $f$ s'annule au moins une fois dans $]a,b[$.
Si de plus $f$ est strictement monotone, ce zéro est unique.
Méthode · dichotomie
Pour approcher le zéro $\alpha$ : on calcule le milieu $m=\tfrac{a+b}2$ et on garde la moitié $[a,m]$ ou $[m,b]$ où $f$ change de signe. L'amplitude est divisée par $2$ à chaque étape : $b_n-a_n=\dfrac{b-a}{2^n}$.
4 Bijection, réciproque et racine n-ième
Théorème de la bijection
Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur l'intervalle $J=f(I)$ (dont les bornes sont les limites de $f$ aux bornes de $I$).
Propriétés de $f^{-1}$
- $f^{-1}$ est continue sur $J$ et a le même sens de variation que $f$ ;
- $f^{-1}(f(x))=x$ et $f(f^{-1}(y))=y$ ;
- dans un repère orthonormé, $\Cf$ et $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ sont symétriques par rapport à la droite $y=x$.
Piège à éviter
$f^{-1}\neq \dfrac1f$ : la réciproque n'est pas l'inverse. Pour trouver $f^{-1}$, on résout $y=f(x)$ d'inconnue $x$.
Ex. $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$ sur $]1,+\infty[$ donne $f^{-1}(x)=\dfrac{x+1}{x-2}.$
Fonction racine $n$-ième
Pour $n\in\N^*$, $x\mapsto x^n$ est continue strictement croissante sur $\R^+$, donc bijective ; sa réciproque est $\sqrt[n]{\ }:\R^+\to\R^+$, avec $y=\sqrt[n]{x}\iff (x=y^n$ et $y\ge0)$. Elle est continue, strictement croissante, et pour $x,y\ge0$ : $\sqrt[n]{xy}=\sqrt[n]{x}\,\sqrt[n]{y}$ et $x^{p/q}=\sqrt[q]{x^p}$.