Dérivabilité — Niveau approfondi

PalierApprofondi★★★

Nombre dérivé, dérivabilité fine, dérivée d'une réciproque, dérivées successives, convexité et Rolle.

La fonction $f(x)=x\,|x|$ est, en $0$ :

Corrigé · C$f(x)=x|x|$ donne $f'(x)=2|x|$, donc $f'(0)=0$. Mais $f'=2|x|$ n'est pas dérivable en $0$ : $f$ n'est pas deux fois dérivable en $0$.

Le nombre dérivé $f'(a)$ est, par définition, la limite quand $x\to a$ de :

Corrigé · ADéfinition : $f'(a)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ (limite du taux d'accroissement).

$f(x)=x^{3}+x$ réalise une bijection de $\R$ sur $\R$. Alors $(f^{-1})'(2)=$ :

Corrigé · A$f(1)=2$ et $f'(x)=3x^{2}+1$, donc $f'(1)=4$ ; $(f^{-1})'(2)=\dfrac{1}{f'(1)}=\dfrac14$.

$f$ est convexe sur $I$. Pour tous $a,b\in I$ :

Corrigé · DUne fonction convexe est au-dessous de ses cordes ; au point milieu : $f\!\left(\tfrac{a+b}{2}\right)\le\tfrac{f(a)+f(b)}{2}$.

$f$ dérivable sur $[0,1]$ avec $f(0)=f(1)$. D'après le théorème de Rolle :

Corrigé · CRolle : $f$ continue sur $[0,1]$, dérivable sur $]0,1[$ et $f(0)=f(1)$ $\Rightarrow$ $\exists\,c\in\,]0,1[,\ f'(c)=0$.

Pour tous réels $a,b$ :

Corrigé · BPar l'I.A.F. appliquée à $\sin$ : comme $|\sin'|=|\cos|\le1$, on a $|\sin a-\sin b|\le|a-b|$.

La dérivée $n$-ième de $x\mapsto\dfrac{1}{1+x}$ (pour $x\ne-1$) est :

Corrigé · D$\left(\dfrac{1}{1+x}\right)'=\dfrac{-1}{(1+x)^{2}}$, puis par récurrence $\dfrac{d^{n}}{dx^{n}}\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{(-1)^{n}\,n!}{(1+x)^{n+1}}$.

PalierDifficile★★★★

Fonctions à taux d'accroissement subtil, I.A.F. chiffrée, sens de variation, tangentes, convexité et points d'inflexion.

Soit $f(x)=x^{2}\sin\!\dfrac1x$ pour $x\ne0$ et $f(0)=0$. En $0$, $f$ est :

Corrigé · DLe taux $\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=x\sin\tfrac1x$ vérifie $\left|x\sin\tfrac1x\right|\le|x|\to0$ : par encadrement il tend vers $0$, donc $f'(0)=0$.

$f$ dérivable sur $\R$, $f'\ge0$, et $f'$ ne s'annule qu'en un nombre fini de points. Alors $f$ est :

Corrigé · BUne dérivée positive qui ne s'annule qu'en des points isolés entraîne la stricte croissance sur $\R$.

Q10

$f$ dérivable sur $[1,4]$ avec $2\le f'(x)\le 3$ pour tout $x$, et $f(1)=5$. D'après l'I.A.F. :

Corrigé · CI.A.F. : $2(4-1)\le f(4)-f(1)\le 3(4-1)$, soit $6\le f(4)-5\le 9$, d'où $11\le f(4)\le 14$.

Q11

$f$ dérivable sur $I$. $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si :

Corrigé · D$f$ convexe (dérivable) $\Longleftrightarrow$ $f'$ croissante (et, si $f$ est deux fois dérivable, $f''\ge0$).

Q12

La tangente à la courbe de $f(x)=x^{3}$ au point d'abscisse $1$ a pour équation :

Corrigé · B$f'(1)=3$ et $f(1)=1$ : $y=f'(1)(x-1)+f(1)=3(x-1)+1=3x-2$.

Q13

Le nombre de points d'inflexion de la courbe de $f(x)=x^{4}-6x^{2}$ est :

Corrigé · A$f''(x)=12x^{2}-12=12(x^{2}-1)$ s'annule en $\pm1$ en changeant de signe : deux points d'inflexion.

Q14

$f$ dérivable et convexe sur $I$. La courbe $\mathcal{C}_f$ est :

Corrigé · BUne fonction convexe est au-dessus de ses tangentes et au-dessous de ses cordes.

PalierTrès difficile★★★★★

Dérivabilité paramétrée, tangentes issues d'un point, comptage de racines par les extrema, astuce de Rolle, concavité et points d'inflexion d'une fraction, T.A.F. numérique.

Q15

$f(x)=x^{2}$ si $x\le1$ et $f(x)=ax+b$ si $x>1$. $f$ est dérivable en $1$ si et seulement si :

Corrigé · AContinuité en $1$ : $1=a+b$. Dérivabilité : la dérivée à gauche vaut $2$, celle à droite vaut $a$, donc $a=2$ ; alors $b=-1$.

Q16

Combien de tangentes à la courbe $y=x^{2}$ passent par le point $A(1,-3)$ ?

Corrigé · CTangente au point d'abscisse $t$ : $y=2t\,x-t^{2}$. Elle passe par $A$ ssi $-3=2t-t^{2}$, soit $t^{2}-2t-3=0$ : $t=3$ ou $t=-1$ — deux tangentes.

Q17

Le nombre de solutions réelles de l'équation $x^{3}-3x+1=0$ est :

Corrigé · D$f'(x)=3x^{2}-3$ s'annule en $\pm1$ ; $f(-1)=3>0$ (maximum local) et $f(1)=-1<0$ (minimum local) : la courbe traverse l'axe trois fois.

Q18

Si $a+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c}{3}=0$, alors l'équation $a+bx+cx^{2}=0$ :

Corrigé · BPoser $F(x)=ax+\dfrac{b}{2}x^{2}+\dfrac{c}{3}x^{3}$ : $F(0)=0$ et $F(1)=a+\tfrac b2+\tfrac c3=0$. Par Rolle, $\exists\,x_0\in\,]0,1[,\ F'(x_0)=a+bx_0+cx_0^{2}=0$.

Q19

Pour $a,b\ge0$, la concavité de $x\mapsto\sqrt{x}$ entraîne :

Corrigé · A$\sqrt{\ }$ est concave ($f''<0$) : sa courbe est au-dessus de ses cordes, donc au point milieu $\sqrt{\tfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{\sqrt a+\sqrt b}{2}$.

Q20

Le nombre de points d'inflexion de la courbe de $f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1}$ est :

Corrigé · C$f''(x)=\dfrac{2x(x^{2}-3)}{(x^{2}+1)^{3}}$ s'annule en $0$ et $\pm\sqrt{3}$, en changeant de signe : trois points d'inflexion.

Q21

En appliquant le T.A.F. à $x\mapsto\sqrt{x}$ sur $[100,101]$, on obtient :

Corrigé · D$\sqrt{101}-\sqrt{100}=\dfrac{1}{2\sqrt{c}}$ avec $c\in\,]100,101[$ ; comme $\dfrac{1}{2\sqrt{c}}<\dfrac{1}{2\sqrt{100}}=\dfrac{1}{20}=0{,}05$, on obtient $10<\sqrt{101}<10{,}05$.