QCM — Dérivabilité

NiveauMoyen★★

Nombre dérivé, tangente, dérivées usuelles et lien continuité ↔ dérivabilité.

Le nombre dérivé $f'(a)$ est la limite, quand $x\to a$, de :

Corrigé · ADéfinition du nombre dérivé : $f'(a)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ (limite du taux d'accroissement).

Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est :

Corrigé · CDérivable en $a$ $\Rightarrow$ continue en $a$. La réciproque est fausse ($x\mapsto|x|$ en $0$).

La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation :

Corrigé · DÉquation de la tangente : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

La dérivée de $\arctan$ est :

Corrigé · BDérivée usuelle : $\arctan'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$.

En $0$, la fonction $x\mapsto|x|$ :

Corrigé · CDérivée à gauche $-1$, à droite $+1$ : elles diffèrent, d'où un point anguleux (non dérivable, mais continue).

Sur $]0,+\infty[$, la dérivée de $\sqrt{x}$ est :

Corrigé · A$(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ sur $]0,+\infty[$ (tangente verticale en $0$).

Si $f''>0$ sur $I$, la courbe $\mathcal{C}_f$ est :

Corrigé · D$f''>0$ sur $I$ $\Longleftrightarrow$ $f$ convexe (concavité tournée vers le haut).

NiveauBon★★★

Dérivée d'une composée et d'une réciproque, dérivées successives, convexité, point d'inflexion et approximation affine.

$f$ dérivable et bijective, $f(2)=5$ et $f'(2)=4$. Alors $(f^{-1})'(5)=$ :

Corrigé · B$(f^{-1})'(f(a))=\dfrac{1}{f'(a)}$, donc $(f^{-1})'(5)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{4}$.

Sur $]0,+\infty[$, la dérivée de $x\mapsto\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$ est :

Corrigé · D$(x^{1/3})'=\tfrac{1}{3}x^{1/3-1}=\tfrac{1}{3}x^{-2/3}=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}$.

Q10

La dérivée de $x\mapsto(x^2+1)^5$ est :

Corrigé · CDérivée d'une composée $(u^n)'=n\,u'\,u^{n-1}$ : $5\cdot 2x\cdot(x^2+1)^4=10x(x^2+1)^4$.

Q11

Par approximation affine, $\sqrt{1{,}02}\approx$ :

Corrigé · A$f(1+h)\approx f(1)+h\,f'(1)$ avec $f=\sqrt{\ }$ : $1+0{,}02\times\tfrac12=1{,}01$.

Q12

Pour $x>0$, $\arctan(x)+\arctan\!\left(\dfrac{1}{x}\right)=$ :

Corrigé · DLa dérivée de $g(x)=\arctan x+\arctan\tfrac1x$ est nulle sur $]0,+\infty[$ ; $g(1)=\tfrac\pi2$, donc $g\equiv\dfrac{\pi}{2}$.

Q13

La courbe $\mathcal{C}_f$ présente un point d'inflexion en $a$ lorsque :

Corrigé · CIl y a inflexion quand $f''$ change de signe en $a$ (la convexité s'inverse). $f''(a)=0$ seul ne suffit pas (ex. $x^4$ en $0$).

Q14

Si $f$ est dérivable et paire sur $\R$, alors $f'$ est :

Corrigé · BEn dérivant $f(-x)=f(x)$ : $-f'(-x)=f'(x)$, donc $f'$ est impaire ; en particulier $f'(0)=0$.

NiveauDifficile — type concours★★★★

Cas subtils de dérivabilité, tangentes verticales, position par rapport aux tangentes, dérivées secondes et petites démonstrations.

Q15

Soit $f(x)=x^2\sin\!\dfrac{1}{x}$ pour $x\ne0$ et $f(0)=0$. En $0$, $f$ est :

Corrigé · DLe taux $\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=x\sin\tfrac1x\to0$ (encadrement $|x\sin\tfrac1x|\le|x|$) : $f$ est dérivable en $0$ avec $f'(0)=0$ — bien que $f'$ ne soit pas continue en $0$.

Q16

En $0$, la fonction $x\mapsto\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$ :

Corrigé · CLe taux $\dfrac{x^{1/3}}{x}=x^{-2/3}\to+\infty$ : $f$ n'est pas dérivable en $0$, la courbe y admet une tangente verticale.

Q17

Si $f$ est dérivable et convexe sur $I$, la courbe $\mathcal{C}_f$ est :

Corrigé · BUne fonction convexe est au-dessus de ses tangentes et au-dessous de ses cordes.

Q18

La dérivée seconde de $\arctan$ est :

Corrigé · A$\arctan'(x)=(1+x^2)^{-1}$, donc $\arctan''(x)=-2x\,(1+x^2)^{-2}=-\dfrac{2x}{(1+x^2)^2}$.

Q19

La tangente à la courbe de $\ln$ en son point d'abscisse $a$ passe par l'origine pour $a=$ :

Corrigé · DTangente en $a$ : $y=\dfrac{1}{a}(x-a)+\ln a$. En $(0,0)$ : $-1+\ln a=0$, donc $a=e$.

Q20

Le nombre de tangentes horizontales à la courbe de $f(x)=x^3-3x$ est :

Corrigé · C$f'(x)=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm1$ : deux points à tangente horizontale (les extrema locaux).

Q21

$f$ dérivable sur $\R$, $f'\ge0$, et $f'$ ne s'annule qu'en un nombre fini de points. Alors $f$ est :

Corrigé · BUne dérivée positive qui ne s'annule qu'en des points isolés entraîne la stricte croissance sur tout l'intervalle.